凯利公式及其应用

凯利公式的概述
凯利公式是一条可应用在投资资金和赌注的公式。应用于多次的随机赌博游戏,资金的期望增长率最高,且永远不会导致完全损失所有资金的后果。它假设赌博可无限次进行,而且没有下注上下限。

f^* = \frac{bp-q}{b}

f * = 现有资金应进行下次投注的比例
b = 赔率
p = 胜利机会
q = 输的机会 (一般等于 1-p )
例如:若一个游戏有40%(p=0.40)机会胜出,赔率为2:1(b=2),这个赌客便应每次投注(2 × 0.40 -0.60)/2 = 10%的资金。

再举个最简单的例子:硬币的正反面,正面胜,反面输,胜率50%,赔率1.5:1。

代入凯利公式,b赔率是1.5,p和q都是0.5,则f=(bp - q) ÷ b = (1.5 * 50% - 50%) ÷ 1.5 = 16.6%。

f^*=16.6%是你下注最有利的比例,每次拿出16.6%进行下注,才能使你的收益最大化。 这是在你期望值为正的前提下,即(bp-q)>0,在抛硬币的案例里,期望值=0.25(赢面)是正的。

这条公式是克劳德·艾尔伍德·香农在贝尔实验室的同事物理学家约翰·拉里·凯利在1956年提出的。凯利的方法参考了香农关于长途电话线的嘈音的工作。凯利说明香农的信息论可应用于此:赌徒不必要获得完全的资讯。香农的另一位同事Edward O. Thorp应用这条公式在廿一点和股票市场上。1738年丹尼·伯努利曾提出等价的观点,可是伯努利的文章直到1954年才首次译成英语。不过对于只投资一次的人来说,应选择算术平均最高的投资组合。

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凯利公式的投资运用
凯利公式在投资中可作如下应用:

1、凯利公式不能代替选股,选股还是要按照巴菲特和费雪的方法。

2、凯利公式可以选时,即使是有投资价值的公式,也有高估和低估的时候,可以用凯利公式进行选时比较。

3、凯利公式适合非核心资产寻找短期投机机会。

4、凯利公式适合作为资产配置的考虑,对于资金管理比较有利,可以充分考虑机会成本。

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凯利公式的盲点
凯利公式原本是为了协助规划电子比特流量设计,后来被引用于赌二十一点上去,麻烦就出在一个简单的事实,二十一点并非商品或交易。赌二十一点时,你可能会输的赌本只限于所放进去的筹码,而可能会赢的利润,也只限于赌注筹码的范围。但商品交易输赢程度是没得准的,会造成资产或输赢有很大的震幅。

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凯利公式案例分析
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案例一:凯利公式案例分析[1]
当房市(不要小看房市,有杠杆效应)2005年5月左右进入疯狂期的时候(上海均价从3500上涨到12000元),股市却在1000点低点时候,我们可以用凯本公式测算一下投入的资金。

(1)房市算法一:X=[(R+1)×P-1]/R,P=60%,R=0.5,我们假设房市可以再涨50%,即到18000元,把握20%(这时候一定要考虑购买力,人均支入水平,贷款本率等,到目前还没有到这个价位)。下跌有可能再回到50%。把握40%(后来上海房价下跌30%)。可以得出 X=-20%,这么道要从楼市里面撤出20%资金。

(2)房市算法二:X=[(R+1)×P-1]/R,P=60%,R=0.6,我们以同样的把握50%计算,上涨30%到15600,下跌50%到 6000元(是从3500元启动的,还有71.43%的涨幅。),以上涨幅度除以下跌幅度得到R.得到x=-6.67%,建议你从楼市里面撤出6.67% 的资金。

(3)股市算法(只列算法二,算法一同样):X=[(R+1)×P-1]/R,P=60%,上涨100%(到2000点,01年股指就不止2000 点,而且中国经济一直10%左右增长),下跌50%到500点(96年时候到过512点,不知道96年的时候物价是多长,股指还能不能回到96年)。得出 x= 90%.可以看出你要投入90%的资金到股市里面,楼市要撤资金,股市要投资金,那么分配方式就很明确了。那就把楼市的钱全部撤出投入到股市里面。

关于凯本公式在巴式投资中的应用问题,比如,好不容易找到三个符合巴式风格的公司,招商银行、万科、五粮液,当怎么配置资产。难道是每个买1/3。目前的时点每个公司的估值都不一样,怎么买,都是1/3吗?还是寻觅机会更多的投入更多的资金?

依照凯本公式,可以考虑到每个公司的目前估值,下跌可能,上涨幅度,银行业、房产业、白酒业未来的增长幅度大小。个人认为银行的增长更明确,房产有分歧,白酒未来的增长好像不符合健康趋势。再考虑一下估值问题,这个时候完全可以用凯本公式来解决这三个公司的资金分配问题。寻觅到更有投资机会的公司。当然道二十年之后再看,那么目前这些机会成本可以忽略不计,但是不要记了复本的威力,小的机会成本会最终导致大的变化。

不管你选择哪种风格,这里的关键就是,用成功率和盈亏比组合出的数学期望,必须要是正数,这才是长期能在市场中生存下来的策略。像巴菲特就一直坚持这种理念,他曾经说过一句话,"用亏损概率乘以可能亏损的数量,再用收益概率乘以可能收益的数量,最后用后者减去前者,这就是我们一直试图做的方法"。

在《巴菲特的投资组合》这本书里,作者举了一个例子来说明巴菲特的决策思路,假如一家公司今天的开盘价是每股18美元,上午的时候他突然发布公告,另一家公司将会在半年内,以每股30美元的价格来收购,于是股价马上开始拉升到了 27美元,并且在这个位置开始横盘震荡。之所以没有立刻拉升到30美元,是因为收购事项存在不确定,这个时候巴菲特就会展开计算。

比如综合评估后,他得出收购成功的概率是90%,这样以现在的价格27买,90%的概率可以在六个月后以30美元的价格出手;而即使出现10%的小概率事件,收购失败,那估计无非就是跌到消息发布前的18美元。简单计算就可以发现,90%的概率赚3美元,减去10%的概率亏9美元,会得到每股1.8美元的预期收益,这的确是一个正数,代表机会可以参与。而1.8美元对应现在27的股价,意味着涨幅是6.6%,而这一切是在半年内可以实现的,这笔资金的年化回报应当是6.6%的两倍,也就是13.2%。做完这些工作后,你只需要考虑目前别的潜在投资机会,是否能提供超过13.2%的年化回报,就可以决定要不要参与了。如果算下来确实没有性价比更高的其他选择,那这个机会不容错过,我们再用一下凯利公式,算算巴菲特应该投入本金的多大比例,结果是:90%-10%除(3除9)=60%。

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最后编辑于:2022/9/20作者:闽发论坛

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